PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES

 Propiedades de las desigualdades 📌

1) Si a los dos miembros de una desigualdad se suma o  resta una misma cantidad, el signo de la desigualdad no varía.📙

Así, dada la desigualdad a > b, podemos escribir:  a+c > b+c  y  a-c  > b-c

• CONSECUENCIA

Un termino cualquiera de una desigualdad se puede pasar de un miembro al otro cambiándole el signo.

Así, en la desigualdad a-c > b, podemos pasar c al primer miembro con signo - y quedara a-c > b, por que equivale a restar c a los dos miembros.

En la desigualdad a-b > c podemos pasar b con signo + al segundo miembro y quedara a > b+c, por que equivale a sumar b a los dos miembros.

2) Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por una misma cantidad positiva, el signo de la desigualdad no varía.📙

Así, dada la desigualdad a > b y siendo c una cantidad positiva, podemos escribir:  ac > bc y a/c > b/c.

• CONSECUENCIA

Se puede suprimir denominadores en una desigualdad, sin que varíe el signo de la desigualdad, porque ello equivale a multiplicar todos los términos de la desigualdad, o sea sus dos miembros, por el m. c. m. de los denominadores.

3) Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por una misma cantidad negativa, el signo de la desigualdad varía.📙

Así, si en la desigualdad a > b multiplicamos ambos miembros por -c , tendremos:  -ac < -bc

y dividiéndolos entre -c , o sea multiplicando por -1/c, tendremos: -a/c < -b/c .

• CONSECUENCIA 

Si se cambia el signo a todos los términos, o sea a los dos miembros de una desigualdad, el signo de la desigualdad varia porque equivale a multiplicar los dos miembros de la desigualdad por -1.

Así, en la desigualdad a-b > -c cambiamos el signo a todos los términos, tendremos: b-a < c .

4) Si cambia el orden de los miembros, la desigualdad cambia de signo.📙

Así, si a > b es evidente que b < a .

5) Si se invierten los dos miembros, la desigualdad cambia de signo.📙

Así, siendo a > b  se tiene que 1/a < 1/b .

6) Si miembros de una desigualdad son positivos y se elevan a una misma potencia positiva, el signo de la desigualdad no cambia.📙

Así, 5 > 3. Elevando al cuadrado:   5² > 3² o sea 25 > 9 .

7) Si los dos miembros o uno de ellos es negativo y se elevan a una potencia impar positiva, el signo de la desigualdad no cambia.📙

Así, -3 > -5. Elevando al cubo:  (-3³) > (-5³) o sea -27 > -125 .

8) Si los dos miembros son negativos y se elevan a una misma potencia par positiva, el signo de la desigualdad cambia.📙

Así, -3 > -5. Elevando al cuadrado: (-3²) = 9 y (-5²) = 25 y queda  9 < 25 .

9) Si un miembro es positivo y otro negativo y ambos se elevan a la misma potencia par positiva, el signo de la desigualdad puede cambiar. 📙

Así, 3 > -5. Elevando al cuadrado: 3² = 9 y  (-5²) = 25 y queda 9 < 25 .

10) Si los dos miembros de una desigualdad son positivos y se les extrae la misma raíz positiva, el signo de la desigualdad no cambia.📙

11) Si dos o mas desigualdades del mismo signo se suman o multiplican miembro a miembro,  resulta una desigualdad del mismo signo.

Así, si a > b y c > d, tendremos: a+c > b+d y ac > bd.

12) Si dos desigualdades del mismo signo se restan o dividen miembro a miembro, el resultado no es necesariamente una desigualdad del mismo signo, pudiendo ser una igualdad.📙

Así, 10 > 8 y 5 > 2. Restando miembro a miembro: 10-5 = 5 y 8-2 = 6; luego queda 5 < 6; cambia el signo.

Si dividimos miembro a miembro las desigualdades 10 > 8 y 5 > 4, tenemos 10/5 = 2 y 8/4 = 2 ; luego queda 2 = 2 .

 

                      TABLA DE DESIGUALDADES