DESIGUALDAD CUADRATICA CON UNA

Desigualdad cuadrática 

Este suplemento tiene el propósito de mostrar como resolver desigualdades que contienen una expresión cuadrática o una expresión racional. Los métodos que presentaremos difieren de los desarrollados para resolver desigualdades lineales. Como parte del proceso de resolver la desigualdad cuadrática la rearreglaremos para que un lado sea igual a cero. Luego factorizaremos la expresión cuadrática que se obtiene.

Ejemplo 1. Resuelva la desigualdad x² + x − 2 > 0.

SOLUCION:  Comenzamos factorizando la expresión cuadrática pues uno de los lados es igual a cero.

                      x² + x − 2 > 0             (x + 2)(x − 1) > 0

 Ahora resolvemos la ecuación (x + 2)(x − 1) = 0. 

               Tenemos que x + 2 = 0 o x − 1 = 0.

Obtenemos que x = −2 o x = 1. Estos valores dividen la recta real en tres intervalos: (−∞,−2), (−2,1), (1,∞). Sabemos que x = −2 y en x = 1 satisfacen la ecuación x² + x − 2 = 0. Deseamos determinar el signo de la expresión x² + x − 2 en los intervalos (−∞,−2), (−2,1), (1,∞). Para esto determinamos el signo de cada uno de los factores usando un valor de x en cada uno de los intervalos. Este valor particular de x se conoce como valor prueba. Por ejemplo, para determinar el signo del factor x − 2 en el intervalo (−∞,−2) escogemos un valor de x que este en este intervalo, digamos x = −3 y lo subustituimos en x − 2. Obtenemos x − 2 = −3 − 2 = −5. Luego x − 2 es negativo en el intervalo (−∞,−2). Por otro lado x−1 = −3−1 = −4 por lo que x−1 es negativo en el intervalo (−∞,−2). Repetimos este procedimiento para los otros dos intervalos. Construimos una tabla, llamada una tabla de signos, para organizar la información obtenida:

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Intervalos	(−∞,−2)	(−2,1)	(1,∞)
Signo de x + 2	−	+	+
Signo de x − 1	−	−	+
Signo de (x + 2)(x − 1)	+	−	+

l signo de (x + 2)(x − 1) se obtiene multiplicando el signo de x − 2 con el signo de x + 1. Nos interesa saber donde (x + 2)(x − 1) > 0, es decir donde (x + 2)(x − 1) es positiva. Esto ocurre en (−∞,−2) o en (1,∞).

Ejemplo 2. Resuelva la desigualdad x² ≤ 4x + 12.

SOLUCION: Primero despejemos para que un lado de la desigualdad sea cero y factoricemos la expresión  resultantes

                                x² ≤ 4x + 12          x² − 4x − 12 ≤ 0                 (x + 2)(x − 6) ≤ 0.

Resolvemos la ecuación (x + 2)(x − 6) = 0. Obtenemos que x + 2 = 0 o x − 6 = 0. Luego x = −2 o x = 6. Ahora construimos una tabla de signos.

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Intervalos	(−∞,−2)	(−2,6)	(6,∞)
Signo de x + 2	−	+	+
Signo de x − 6	−	−	+
Signo de (x + 2)(x − 6)	+	−	+

Buscamos los valores x tales que (x + 2)(x − 6) ≤ 0. (x + 2)(x − 6) es menor que cero en el intervalo (−2,6) e igual a cero en x = −2 y en x = 6. Luego la solución de la desigualdad es el intervalo [−2,6].